Formelsammlung

Version vom 27. November 2018, 09:31 Uhr von Ralph (Diskussion | Beiträge) (→‎Fläche)
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Wer gerne mit Kohte und Jurte konstruiert und sich dazu gerne Pläne macht, der kommt um ein gewisses Maß an Mathematik nicht herum. Idealisiert sind Kohte und Jurte regelmäßige Vielecke. Das modulare System lässt zu, unterschiedliche Planen fast beliebig zu kombinieren. Daraus ergeben sich vielfältige geometrische Formen. Zu deren Berechnung folgt unten die nötige Formelsammlung. Für die Bedeutung der Abkürzungen und Werte siehe: Wichtige Maße.

entspricht der Länge einer Viereckzeltbahn und somit der Seitenlänge von Achteck (Kohte), Zwölfeck (Jurte), Sechzehneck (Großjurte), usw.

Den theoretischen Wert von nehmen wir wie folgt an:

  • Tortuga / Stromeyer
  • Schlaufenjurte
  • Rainbow

Sechseck

Die Grundfläche der Rainbow-Kohte entspricht einem regelmässigen Sechseck

Umkreisradius

 

Inkreisradius

 

Flächeninhalt

 

Diagonale über 2 (bzw. 4) Seiten

 

Diagonale über 3 Seiten (Durchmesser)

 

Innenwinkel

 

Achteck

Die Grundfläche der Kohte entspricht einem gleichseitigem Achteck.

Inkreisradius

 

 

Umkreisradius

 

 

 

Große Diagonale (Durchmesser)

 

Mittlere Diagonale

 

Kleine Diagonale

 

Zentriwinkel

 

Innenwinkel

 

 

Flächeninhalt

 

 

Zwölfeck

Die Grundfläche der Jurte entspricht einem regelmässigen Zwölfeck. Eine zwölfeckige Jurte mit einem Durchmesser von 6 m hat eine Grundfläche von 27 m²

Zentriwinkel

 

Innenwinkel

 

Flächeninhalt

 

Die Fläche kann auch mit   als dem Radius des Umkreises[1] berechnet werden

 

Mit r als Radius des Inkreises, ergibt sich der Flächeninhalt des regelmäßigen Zwölfecks zu

 

Sechzehneck

Die Grundfläche der Großjurte entspricht einem Sechzehneck

Zentriwinkel

 

Innenwinkel

Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 157,5°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2520°.

 

Flächeninhalt

 

Da die Anzahl der Seiten eines Sechzehnecks eine Zweierpotenz ist, kann die Fläche auch über den Umkreis mit dem Radius   durch eine abgeleitete Formel aus Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi berechnet werden.[2]

 

Achtzehneck

Die Grundfläche der Giga-Großjurte entspricht einem Achtzehneck

Zentriwinkel

 

Innenwinkel

Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 160°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2880°.

 

Fläche

 

 

Dreieck

Bei den Formeln für das Dreieck entspricht   nicht der Kantenlänge eine Plane (außer es geht um die Dreieckzeltbahn)!

gleichschenkliges Dreieck

 
Eine Formel für die Bundhöhe

Mit diesen Formeln kann z.B. die Bundhöhe  für die Mittelstangen einer Jurte bestimmt werden.

  mit   = Seitenhöhe der Jurte,   = Dacherhöhung,   = Abstand Dach zu Abdeckplane und   = Höhe Abdeckplane

Wenn wir jetzt noch einen Abstand der beiden Mittelstangen für die Feuerstelle   festlegen, dann können wir mit der Formel

  die Länge der Mittelstangen, bzw. wo dort der Bund liegen soll, bestimmen.

Seitenlänge

 

 

 

Höhe

 

Umfang

 

Winkel

 
 

 

Flächeninhalt

 

 

gleichseitiges Dreieck

Seitenlänge

 

Winkel

 

Höhe

 

Flächeninhalt

 

Umfang

 

Umkreisradius

 

Inkreisradius

 

Pyramide

regelmäßige Pyramide

  • Kohte = regelmäßige achtseitige Pyramide
  • Jurtendach = regelmäßige zwölfseitige Pyramide

regelmäßige dreiseitige Pyramide

Ein Anwendungsfall für eine regelmäßige dreiseitige Pyramide ist das Dreibein in oder außerhalb einer Jurte.

Formeln für einen Kegel

Ein Kegel beschreibt am besten die Hüllfläche eines Dreibein. Damit lassen sich z.B. die benötigten Stangenlängen und der Platzbedarf für ein Außendreibein berechnen.

gerader Kreiskegel

Radius

 

Höhe

 

Mantellinie

 

Winkel

eines geraden Kreiskegels ist der halbe Öffnungswinkel, auch halber Kegelwinkel genannt

 

 

 

Durchmesser der Grundfläche

 

Grundfläche

 

Flächeninhalt der Mantelfläche

 

Oberfläche

 

Volumen

 

Kegelstumpf

 
Kegelstumpf,
Definition der Höhe

Mit   werde der Radius der Deckfläche, mit   der Radius der Grundfläche bezeichnet.   sei der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse.

Volumen

 

Länge einer Mantellinie

 

Mantelfläche

 

Deckfläche

 

Grundfläche

 

Oberfläche

 

Höhe des Kegelstumpfs

 

Anmerkungen

Innenwinkel

Der Innenwinkel   entspricht zum Beispiel dem Maß der Winkel für das Jurtengerüst.

Fläche

Die Flächenberechnung ist z.B. dort hilfreich, wo Jurten kombiniert werden, aber dennoch die Grenze zu Fliegenden Bauten nicht überschritten werden soll.

Einzelnachweise