Formelsammlung

Wer gerne mit Kohte und Jurte konstruiert und sich dazu gerne Pläne macht, der kommt um ein gewisses Maß an Mathematik nicht herum. Idealisiert sind Kohte und Jurte regelmäßige Vielecke. Das modulare System lässt zu, unterschiedliche Planen fast beliebig zu kombinieren. Daraus ergeben sich vielfältige geometrische Formen. Zu deren Berechnung folgt unten die nötige Formelsammlung. Für die Bedeutung der Abkürzungen und Werte siehe: Wichtige Maße.

$a$ entspricht der Länge einer Viereckzeltbahn und somit der Seitenlänge von Achteck (Kohte), Zwölfeck (Jurte), Sechzehneck (Großjurte), usw.

Den theoretischen Wert von $a$ nehmen wir wie folgt an:

• Tortuga / Stromeyer $a=157cm$
• Schlaufenjurte $a=157cm$
• Rainbow $a=?cm$

Sechseck

Die Grundfläche der Rainbow-Kohte entspricht einem regelmässigen Sechseck

Umkreisradius

$R=a$

Inkreisradius

$r=a\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}$

Flächeninhalt

$A=a^{2}\,{\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}$

Diagonale über 2 (bzw. 4) Seiten

$d_{2}=2r=a\,{\sqrt {3}}$

Diagonale über 3 Seiten (Durchmesser)

$D=2R=2a$

Innenwinkel

$\delta =180^{\circ }-\alpha =120^{\circ }$

Achteck

Die Grundfläche der Kohte entspricht einem gleichseitigem Achteck.

Inkreisradius

$r=a\ {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {2}})$

$a=2r\ ({\sqrt {2}}-1)$

Umkreisradius

$R=a\ {\frac {1}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}$

$R=a\ {\sqrt {1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}$

$a=R\ {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$

Große Diagonale (Durchmesser)

$d_{1}=a\ {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\ =\ 2R$

Mittlere Diagonale

$d_{2}=a\ (1+{\sqrt {2}})\ =\ 2r$

Kleine Diagonale

$d_{3}=a\ {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\ =\ R\,{\sqrt {2}}$

Zentriwinkel

$\alpha ={\frac {360^{\circ }}{8}}=45^{\circ }$

Innenwinkel

$\delta =180^{\circ }-\alpha =135^{\circ }$

$\cos \delta ={\frac {-1}{\sqrt {2}}}$

Flächeninhalt

$A=a^{2}\ (2+2{\sqrt {2}})$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = r_u^2 \ 2 \sqrt{2}}

Zwölfeck

Die Grundfläche der Jurte entspricht einem regelmässigen Zwölfeck. Eine zwölfeckige Jurte mit einem Durchmesser von 6 m hat eine Grundfläche von 27 m²

Zentriwinkel

$\alpha ={\frac {360^{\circ }}{12}}=30^{\circ }$

Innenwinkel

$\delta =180^{\circ }-\alpha =150^{\circ }$

Flächeninhalt

${\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 11{,}19615\,a^{2}.\end{aligned}}$

Die Fläche kann auch mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} als dem Radius des Umkreises berechnet werden

$A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}.$

Mit r als Radius des Inkreises, ergibt sich der Flächeninhalt des regelmäßigen Zwölfecks zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} A & = 12 \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) r^2 = 12 \left(2-\sqrt{3} \right) r^2 \\ & \approx 3{,}21539\,r^2. \end{align}}

Sechzehneck

Die Grundfläche der Großjurte entspricht einem Sechzehneck

Zentriwinkel

$\alpha ={\frac {360^{\circ }}{16}}=22,5^{\circ }$

Innenwinkel

Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 157,5°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2520°.

$\delta =180^{\circ }-\alpha =157,5^{\circ }$

Flächeninhalt

$A=4a^{2}\cot {\frac {\pi }{16}}=4a^{2}({\sqrt {2}}+1)\left({\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}+1\right)$

Da die Anzahl der Seiten eines Sechzehnecks eine Zweierpotenz ist, kann die Fläche auch über den Umkreis mit dem Radius $r$ durch eine abgeleitete Formel aus Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi berechnet werden.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=r^2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=4r^2\sqrt{2-\sqrt{2}}.}

Achtzehneck

Die Grundfläche der Giga-Großjurte entspricht einem Achtzehneck

Zentriwinkel

$\alpha ={\frac {360^{\circ }}{18}}=20^{\circ }$

Innenwinkel

Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 160°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2880°.

$\delta =180^{\circ }-\alpha =160^{\circ }$

Fläche

$A={\frac {18}{4}}\cdot a^{2}\cdot {\frac {\cos 10^{\circ }}{\sin 10^{\circ }}}$

$A={\frac {18}{2}}\cdot r_{u}^{2}\cdot \sin 20^{\circ }$

Dreieck

Bei den Formeln für das Dreieck entspricht $a$ nicht der Kantenlänge eine Plane (außer es geht um die Dreieckzeltbahn)!

gleichschenkliges Dreieck

Eine Formel für die Bundhöhe

Mit diesen Formeln kann z.B. die Bundhöhe $h_{b}$für die Mittelstangen einer Jurte bestimmt werden.

$h_{b}=s+d+x+a$ mit $s$ = Seitenhöhe der Jurte, $d$ = Dacherhöhung, $x$ = Abstand Dach zu Abdeckplane und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a } = Höhe Abdeckplane

Wenn wir jetzt noch einen Abstand der beiden Mittelstangen für die Feuerstelle $f$ festlegen, dann können wir mit der Formel

$l_{b}={\sqrt {h_{b}^{2}+{\frac {f^{2}}{4}}}}$ die Länge der Mittelstangen, bzw. wo dort der Bund liegen soll, bestimmen.

Seitenlänge

$a=b$

$c^{2}=2a^{2}(1-\cos(\gamma ))$

$c=2a\cdot \sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)$

Höhe

$h_{c}={\sqrt {a^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2}}}$

Umfang

$U\,=\,2a+c$

Winkel

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Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma = \arccos \left( 1- \frac{c^2}{2a^2}\right)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma = 2\arcsin\left(\frac{c}{2a}\right) }

Flächeninhalt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \, = \, \frac{c}{2}\sqrt{a^2-\frac{c^2}{4}} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \, = \, \frac{1}{2}\,c\cdot h_c}

gleichseitiges Dreieck

Seitenlänge

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a = b = c \,}

Winkel

$\alpha =\beta =\gamma =60^{\circ }$

Höhe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h=\frac{\sqrt{3}}{2}a }

Flächeninhalt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \, = \, \frac{a^2\sqrt{3}}{4} }

Umfang

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u \, = \, 3 \cdot a }

Umkreisradius

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Inkreisradius

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Pyramide

regelmäßige Pyramide

• Kohte = regelmäßige achtseitige Pyramide
• Jurtendach = regelmäßige zwölfseitige Pyramide

regelmäßige dreiseitige Pyramide

Ein Anwendungsfall für eine regelmäßige dreiseitige Pyramide ist das Dreibein in oder außerhalb einer Jurte.

Formeln für einen Kegel

Ein Kegel beschreibt am besten die Hüllfläche eines Dreibein. Damit lassen sich z.B. die benötigten Stangenlängen und der Platzbedarf für ein Außendreibein berechnen.

gerader Kreiskegel

Radius

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Höhe

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Mantellinie

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Winkel

eines geraden Kreiskegels ist der halbe Öffnungswinkel, auch halber Kegelwinkel genannt

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Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tan\varphi = \frac{\text{Gegenkathete von }\varphi}{\text{Ankathete von }\varphi} = \frac{r}{h}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi = \arcsin\frac{r}{s} = \arctan\frac{r}{h}}

Durchmesser der Grundfläche

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Grundfläche

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Flächeninhalt der Mantelfläche

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_M = r\cdot s\cdot \pi}

Oberfläche

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Volumen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V = \frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h}

Kegelstumpf

Kegelstumpf,
Definition der Höhe

Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} werde der Radius der Deckfläche, mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} der Radius der Grundfläche bezeichnet. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} sei der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse.

Volumen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V = \frac{h \cdot \pi}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)}

Länge einer Mantellinie

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Mantelfläche

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Deckfläche

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Grundfläche

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = \pi \cdot R^2}

Oberfläche

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O = \pi \cdot \left[ r^2 + R^2 + m \cdot (r + R) \right]}

Höhe des Kegelstumpfs

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h=\frac{R-r}{\tan\varphi}}

Anmerkungen

Innenwinkel

Der Innenwinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta } entspricht zum Beispiel dem Maß der Winkel für das Jurtengerüst.

Fläche

Die Flächenberechnung ist z.B. dort hilfreich, wo Jurten kombiniert werden, aber dennoch die Grenze zu Fliegenden Bauten nicht überschritten werden soll.