Sechseck
Die Rainbow -Kohte entspricht einem regelmässigen Sechseck
Umkreisradius
R
=
a
{\displaystyle R=a}
Inkreisradius
r
=
a
3
2
{\displaystyle r=a\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
Flächeninhalt
A
=
a
2
3
2
3
{\displaystyle A=a^{2}\,{\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}}
Diagonale über 2 (bzw. 4) Seiten
d
2
=
2
r
=
a
3
{\displaystyle d_{2}=2r=a\,{\sqrt {3}}}
Diagonale über 3 Seiten (Durchmesser)
D
=
2
R
=
2
a
{\displaystyle D=2R=2a}
Innenwinkel
δ
=
180
∘
−
α
=
120
∘
{\displaystyle \delta =180^{\circ }-\alpha =120^{\circ }}
Achteck
Die Kohte entspricht einem gleichseitigem Achteck .
Inkreisradius
r
=
a
1
2
(
1
+
2
)
{\displaystyle r=a\ {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {2}})}
a
=
2
r
(
2
−
1
)
{\displaystyle a=2r\ ({\sqrt {2}}-1)}
Umkreisradius
R
=
a
1
2
4
+
2
2
{\displaystyle R=a\ {\frac {1}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}
R
=
a
1
+
1
2
{\displaystyle R=a\ {\sqrt {1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}}
a
=
R
2
−
2
{\displaystyle a=R\ {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}
Große Diagonale (Durchmesser)
d
1
=
a
4
+
2
2
=
2
R
{\displaystyle d_{1}=a\ {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\ =\ 2R}
Mittlere Diagonale
d
2
=
a
(
1
+
2
)
=
2
r
{\displaystyle d_{2}=a\ (1+{\sqrt {2}})\ =\ 2r}
Kleine Diagonale
d
3
=
a
2
+
2
=
R
2
{\displaystyle d_{3}=a\ {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\ =\ R\,{\sqrt {2}}}
Zentriwinkel
α
=
360
∘
8
=
45
∘
{\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{8}}=45^{\circ }}
Innenwinkel
δ
=
180
∘
−
α
=
135
∘
{\displaystyle \delta =180^{\circ }-\alpha =135^{\circ }}
cos
δ
=
−
1
2
{\displaystyle \cos \delta ={\frac {-1}{\sqrt {2}}}}
Flächeninhalt
A
=
a
2
(
2
+
2
2
)
{\displaystyle A=a^{2}\ (2+2{\sqrt {2}})}
A
=
r
u
2
2
2
{\displaystyle A=r_{u}^{2}\ 2{\sqrt {2}}}
Zwölfeck
Die Jurte entspricht einem regelmässigen Zwölfeck
Zentriwinkel
α
=
360
∘
12
=
30
∘
{\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{12}}=30^{\circ }}
Innenwinkel
δ
=
180
∘
−
α
=
150
∘
{\displaystyle \delta =180^{\circ }-\alpha =150^{\circ }}
Flächeninhalt
A
=
3
cot
(
π
12
)
a
2
=
3
(
2
+
3
)
a
2
≈
11,196
15
a
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 11{,}19615\,a^{2}.\end{aligned}}}
Die Fläche kann auch mit
R
{\displaystyle R}
[1]
A
=
6
sin
(
π
6
)
R
2
=
3
R
2
.
{\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}.}
Mit r als Radius des Inkreises, ergibt sich der Flächeninhalt des regelmäßigen Zwölfecks zu
A
=
12
tan
(
π
12
)
r
2
=
12
(
2
−
3
)
r
2
≈
3,215
39
r
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\\&\approx 3{,}21539\,r^{2}.\end{aligned}}}
Sechzehneck
Zentriwinkel
α
=
360
∘
16
=
22
,
5
∘
{\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{16}}=22,5^{\circ }}
Innenwinkel Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 157,5°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2520°.
δ
=
180
∘
−
α
=
157
,
5
∘
{\displaystyle \delta =180^{\circ }-\alpha =157,5^{\circ }}
Flächeninhalt
A
=
4
a
2
cot
π
16
=
4
a
2
(
2
+
1
)
(
4
−
2
2
+
1
)
{\displaystyle A=4a^{2}\cot {\frac {\pi }{16}}=4a^{2}({\sqrt {2}}+1)\left({\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}+1\right)}
Da die Anzahl der Seiten eines Sechzehnecks eine Zweierpotenz ist, kann die Fläche auch über den Umkreis mit dem Radius
r
{\displaystyle r}
[2]
A
=
r
2
⋅
2
1
⋅
2
2
⋅
2
2
+
2
=
4
r
2
2
−
2
.
{\displaystyle A=r^{2}\cdot {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}=4r^{2}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}.}
Dreieck
Formeln des gleichschenkligen Dreiecks Ein gleichschenkliges Dreieck (
α
{\displaystyle \alpha }
=
β
{\displaystyle \beta }
)
Seitenlängen
a
=
b
{\displaystyle a=b}
c
2
=
2
a
2
(
1
−
cos
(
γ
)
)
{\displaystyle c^{2}=2a^{2}(1-\cos(\gamma ))}
c
=
2
a
⋅
sin
(
γ
2
)
{\displaystyle c=2a\cdot \sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}
Höhe
h
c
=
a
2
−
1
4
c
2
{\displaystyle h_{c}={\sqrt {a^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2}}}}
Umfang
U
=
2
a
+
c
{\displaystyle U\,=\,2a+c}
Winkel
α
=
β
,
γ
=
180
∘
−
2
α
{\displaystyle \alpha =\beta ,\,\gamma =180^{\circ }-2\alpha }
γ
=
arccos
(
1
−
c
2
2
a
2
)
{\displaystyle \gamma =\arccos \left(1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}\right)}
γ
=
2
arcsin
(
c
2
a
)
{\displaystyle \gamma =2\arcsin \left({\frac {c}{2a}}\right)}
Flächeninhalt
A
=
c
2
a
2
−
c
2
4
{\displaystyle A\,=\,{\frac {c}{2}}{\sqrt {a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}}
oder
A
=
1
2
c
⋅
h
c
{\displaystyle A\,=\,{\frac {1}{2}}\,c\cdot h_{c}}
Anmerkungen
Innenwinkel Der Innenwinkel
δ
{\displaystyle \delta }
Jurtengerüst .
Fläche Die Fllächenberechnung ist dort hilfreich, wo Jurten kombiniert werden, aber dennoch die Grenze zu Fliegenden Bauten nicht überschritten werden soll.
Einzelnachweise 
