Wer gerne mit Kohte und Jurte konstruiert und sich dazu gerne Pläne macht, der kommt um ein gewisses Maß an Mathematik nicht herum. Idealisiert sind Kohte und Jurte regelmäßige Vielecke. Das modulare System lässt zu, unterschiedliche Planen fast beliebig zu kombinieren. Daraus ergeben sich vielfältige geometrische Formen. Zu deren Berechnung folgt unten die nötige Formelsammlung . Für die Bedeutung der Abkürzungen und Werte siehe: Wichtige Maße .
a
{\displaystyle a}
Kohte ), Zwölfeck (Jurte ), Sechzehneck (Großjurte ), usw.
Den theoretischen Wert von
a
{\displaystyle a}
Tortuga / Stromeyer
a
=
157
c
m
{\displaystyle a=157cm}
Schlaufenjurte
a
=
157
c
m
{\displaystyle a=157cm}
Rainbow
a
=
?
c
m
{\displaystyle a=?cm}
Umkreisradius
R
=
a
{\displaystyle R=a}
Inkreisradius
r
=
a
3
2
{\displaystyle r=a\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}}
Flächeninhalt
A
=
a
2
3
2
3
{\displaystyle A=a^{2}\,{\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}}
Diagonale über 2 (bzw. 4) Seiten
d
2
=
2
r
=
a
3
{\displaystyle d_{2}=2r=a\,{\sqrt {3}}}
Diagonale über 3 Seiten (Durchmesser)
D
=
2
R
=
2
a
{\displaystyle D=2R=2a}
Innenwinkel
δ
=
180
∘
−
α
=
120
∘
{\displaystyle \delta =180^{\circ }-\alpha =120^{\circ }}
Achteck
Die Kohte entspricht einem gleichseitigem Achteck .
Inkreisradius
r
=
a
1
2
(
1
+
2
)
{\displaystyle r=a\ {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {2}})}
a
=
2
r
(
2
−
1
)
{\displaystyle a=2r\ ({\sqrt {2}}-1)}
Umkreisradius
R
=
a
1
2
4
+
2
2
{\displaystyle R=a\ {\frac {1}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}
R
=
a
1
+
1
2
{\displaystyle R=a\ {\sqrt {1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}}
a
=
R
2
−
2
{\displaystyle a=R\ {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}
Große Diagonale (Durchmesser)
d
1
=
a
4
+
2
2
=
2
R
{\displaystyle d_{1}=a\ {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\ =\ 2R}
Mittlere Diagonale
d
2
=
a
(
1
+
2
)
=
2
r
{\displaystyle d_{2}=a\ (1+{\sqrt {2}})\ =\ 2r}
Kleine Diagonale
d
3
=
a
2
+
2
=
R
2
{\displaystyle d_{3}=a\ {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\ =\ R\,{\sqrt {2}}}
Zentriwinkel
α
=
360
∘
8
=
45
∘
{\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{8}}=45^{\circ }}
Innenwinkel
δ
=
180
∘
−
α
=
135
∘
{\displaystyle \delta =180^{\circ }-\alpha =135^{\circ }}
cos
δ
=
−
1
2
{\displaystyle \cos \delta ={\frac {-1}{\sqrt {2}}}}
Flächeninhalt
A
=
a
2
(
2
+
2
2
)
{\displaystyle A=a^{2}\ (2+2{\sqrt {2}})}
A
=
r
u
2
2
2
{\displaystyle A=r_{u}^{2}\ 2{\sqrt {2}}}
Zwölfeck
Die Jurte entspricht einem regelmässigen Zwölfeck
Zentriwinkel
α
=
360
∘
12
=
30
∘
{\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{12}}=30^{\circ }}
Innenwinkel
δ
=
180
∘
−
α
=
150
∘
{\displaystyle \delta =180^{\circ }-\alpha =150^{\circ }}
Flächeninhalt
A
=
3
cot
(
π
12
)
a
2
=
3
(
2
+
3
)
a
2
≈
11,196
15
a
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 11{,}19615\,a^{2}.\end{aligned}}}
Die Fläche kann auch mit
R
{\displaystyle R}
[1]
A
=
6
sin
(
π
6
)
R
2
=
3
R
2
.
{\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}.}
Mit r als Radius des Inkreises, ergibt sich der Flächeninhalt des regelmäßigen Zwölfecks zu
A
=
12
tan
(
π
12
)
r
2
=
12
(
2
−
3
)
r
2
≈
3,215
39
r
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\\&\approx 3{,}21539\,r^{2}.\end{aligned}}}
Sechzehneck
Innenwinkel Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 157,5°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2520°.
Flächeninhalt
A
=
4
a
2
cot
π
16
=
4
a
2
(
2
+
1
)
(
4
−
2
2
+
1
)
{\displaystyle A=4a^{2}\cot {\frac {\pi }{16}}=4a^{2}({\sqrt {2}}+1)\left({\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}+1\right)}
Da die Anzahl der Seiten eines Sechzehnecks eine Zweierpotenz ist, kann die Fläche auch über den Umkreis mit dem Radius
r
{\displaystyle r}
Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi berechnet werden:
A
=
r
2
⋅
2
1
⋅
2
2
⋅
2
2
+
2
=
4
r
2
2
−
2
.
{\displaystyle A=r^{2}\cdot {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}=4r^{2}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}.}
Dreieck
Einzelnachweise 
