Formelsammlung

Wer gerne mit Kohte und Jurte konstruiert und sich dazu gerne Pläne macht, der kommt um ein gewisses Maß an Mathematik nicht herum. Idealisiert sind Kohte und Jurte regelmäßige Vielecke. Das modulare System lässt zu, unterschiedliche Planen fast beliebig zu kombinieren. Daraus ergeben sich vielfältige geometrische Formen. Für die Bedeutung der Abkürzungen und Werte siehe: Wichtige Maße.

Achteck

Die Kohte entspricht einem gleichseitigem Achteck.

Inkreisradius

$r_{i}=a\ {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {2}})$

$a=2r_{i}\ ({\sqrt {2}}-1)$

Umkreisradius

$r_{u}=a\ {\frac {1}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}$

$r_{u}=a\ {\sqrt {1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}$

$a=r_{u}\ {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$

Große Diagonale

$d_{1}=a\ {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\ =\ 2r_{u}$

Mittlere Diagonale

$d_{2}=a\ (1+{\sqrt {2}})\ =\ 2r_{i}$

Kleine Diagonale

$d_{3}=a\ {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\ =\ r_{u}\,{\sqrt {2}}$

Zentriwinkel

$\alpha ={\frac {360^{\circ }}{8}}=45^{\circ }$

Innenwinkel

$\delta =180^{\circ }-\alpha =135^{\circ }$

$\cos \delta ={\frac {-1}{\sqrt {2}}}$

Flächeninhalt

$A=a^{2}\ (2+2{\sqrt {2}})$

$A=r_{u}^{2}\ 2{\sqrt {2}}$

Zwölfeck

Innenwinkel

$\delta =180^{\circ }-\alpha =135^{\circ }$

$\cos \delta ={\frac {-1}{\sqrt {2}}}$

• Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Zwölfecks hat 150°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 1800°.

• Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Zwölfecks mit der Seitenlänge $a$ ist gegeben durch:

${\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 11{,}19615\,a^{2}.\end{aligned}}$

• Die Fläche kann auch mit $R$ als dem Radius des Umkreises berechnet werden

$A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}.$

• Mit r als Radius des Inkreises, ergibt sich der Flächeninhalt des regelmäßigen Zwölfecks zu

${\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\\&\approx 3{,}21539\,r^{2}.\end{aligned}}$