Formelsammlung: Unterschied zwischen den Versionen

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Wer gerne mit [[Kohte]] und [[Jurte]] konstruiert und sich dazu gerne [[Pläne]] macht, der kommt um ein gewisses Maß an Mathematik nicht herum. Idealisiert sind Kohte und Jurte regelmäßige Vielecke. Das modulare System lässt zu, unterschiedliche [[Planen]] fast beliebig zu kombinieren. Daraus ergeben sich vielfältige geometrische Formen. Für die Bedeutung der Abkürzungen und Werte siehe: [[Wichtige Maße]].
Wer gerne mit Kohte und Jurte konstruiert und sich dazu gerne [[Pläne]] macht, der kommt um ein gewisses Maß an Mathematik nicht herum. Idealisiert sind Kohte und Jurte regelmäßige Vielecke. Das modulare System lässt zu, unterschiedliche [[Planen]] fast beliebig zu kombinieren. Daraus ergeben sich vielfältige geometrische Formen. Zu deren Berechnung folgt unten die nötige [[Formelsammlung]]. Für die Bedeutung der Abkürzungen und Werte siehe: [[Wichtige Maße]].
 
<math>a</math> entspricht der Länge einer Viereckzeltbahn und somit der Seitenlänge von Achteck ([[Kohte]]), Zwölfeck ([[Jurte]]), Sechzehneck ([[Großjurte]]), usw.
 
Den theoretischen Wert von <math>a</math> nehmen wir wie folgt an:
 
* Tortuga / Stromeyer <math>a = 157 cm</math>
* Schlaufenjurte <math>a = 157 cm</math>
* Rainbow <math>a = ? cm</math>
 
{{toclimit|limit=2}}
 
== Sechseck ==
Die Grundfläche der [[Rainbow]]-Kohte entspricht einem regelmässigen [[Sechseck]]
 
==== Umkreisradius ====
<math> R = a </math>
 
==== Inkreisradius ====
<math> r = a \, \frac{\sqrt{3}}{2} </math>
 
==== Flächeninhalt ====
<math> A = a^2 \, \frac{3}{2} \sqrt 3 </math>
 
==== Diagonale über 2 (bzw. 4) Seiten ====
<math> d_2 = 2 r = a \, \sqrt{3} </math>
 
==== Diagonale über 3 Seiten (Durchmesser) ====
<math> D = 2 R = 2 a </math>
 
==== Innenwinkel ====
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 120^\circ </math>


== Achteck ==
== Achteck ==
Die Kohte entspricht einem gleichseitigem Achteck.
Die Grundfläche der Kohte entspricht einem gleichseitigem [[Achteck]].


=== Inkreisradius ===
==== Inkreisradius ====


<math> r_i = a  \ \frac{1}{2} (1+ \sqrt{2})  </math>
<math> r = a  \ \frac{1}{2} (1+ \sqrt{2})  </math>


<math> a = 2 r_i \ (\sqrt{2}-1) </math>
<math> a = 2 r \ (\sqrt{2}-1) </math>


=== Umkreisradius ===
==== Umkreisradius ====


<math> r_u = a  \ \frac{1}{2} \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} </math>
<math> R = a  \ \frac{1}{2} \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} </math>


<math> r_u = a  \ \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} </math>
<math> R = a  \ \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} </math>


<math> a = r_u \  \sqrt{2 - \sqrt{2}} </math>
<math> a = R \  \sqrt{2 - \sqrt{2}} </math>


=== Große Diagonale ===
==== Große Diagonale (Durchmesser) ====
<math> d_1 = a  \ \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \ = \ 2 r_u </math>
<math> d_1 = a  \ \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \ = \ 2 R </math>


=== Mittlere Diagonale ===
==== Mittlere Diagonale ====
<math> d_2 = a  \ (1 + \sqrt{2}) \ = \ 2 r_i</math>
<math> d_2 = a  \ (1 + \sqrt{2}) \ = \ 2 r</math>


=== Kleine Diagonale ===
==== Kleine Diagonale ====
<math> d_3 = a  \ \sqrt{2 + \sqrt{2}} \ = \ r_u \, \sqrt{2} </math>
<math> d_3 = a  \ \sqrt{2 + \sqrt{2}} \ = \ R \, \sqrt{2} </math>


=== Zentriwinkel ===
==== Zentriwinkel ====
<math> \alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ </math>
<math> \alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ </math>


=== Innenwinkel ===
==== Innenwinkel ====
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 135^\circ </math>
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 135^\circ </math>


<math> \cos \delta = \frac{-1}{\sqrt{2}} </math>
<math> \cos \delta = \frac{-1}{\sqrt{2}} </math>


=== Flächeninhalt ===
==== Flächeninhalt ====
<math> A = a^2  \ (2+ 2 \sqrt{2})</math>
<math> A = a^2  \ (2+ 2 \sqrt{2})</math>


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== Zwölfeck ==
== Zwölfeck ==
=== Zentriwinkel ===
Die Grundfläche der Jurte entspricht einem regelmässigen [[Zwölfeck]]. Eine zwölfeckige Jurte mit einem Durchmesser von 6 m hat eine Grundfläche von 27 m²
 
==== Zentriwinkel ====
<math> \alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ </math>
<math> \alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ </math>


=== Innenwinkel ===
==== Innenwinkel ====
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 150^\circ </math>
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 150^\circ </math>


=== Flächeninhalt ===
==== Flächeninhalt ====
<math>\begin{align} A & = 3 \cot\left(\frac{\pi}{12} \right) a^2 =
<math>\begin{align} A & = 3 \cot\left(\frac{\pi}{12} \right) a^2 =
                     3 \left(2+\sqrt{3} \right) a^2 \\
                     3 \left(2+\sqrt{3} \right) a^2 \\
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<math>A = 6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) R^2 = 3 R^2.</math>
<math>A = 6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) R^2 = 3 R^2.</math>


Mit ''r'' als [[Radius]] des [[Inkreis]]es, ergibt sich der Flächeninhalt des regelmäßigen Zwölfecks zu
Mit ''r'' als Radius des Inkreises, ergibt sich der Flächeninhalt des regelmäßigen Zwölfecks zu


<math>\begin{align} A & = 12 \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) r^2 =
<math>\begin{align} A & = 12 \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) r^2 =
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== Sechzehneck ==
== Sechzehneck ==
Die Grundfläche der [[Großjurte]] entspricht einem [[Sechzehneck]]
==== Zentriwinkel ====
<math> \alpha = \frac{360^\circ}{16} = 22,5^\circ </math>
==== Innenwinkel ====
Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 157,5°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2520°.
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 157,5^\circ </math>
==== Flächeninhalt ====
<math>A = 4a^2 \cot \frac{\pi}{16} = 4a^2 (\sqrt{2}+1)\left(\sqrt{4-2\sqrt{2}}+1\right)</math>
Da die Anzahl der Seiten eines Sechzehnecks eine Zweierpotenz ist, kann die Fläche auch über den [[Umkreis]] mit dem [[Radius]] <math>r</math> durch eine abgeleitete Formel aus Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi berechnet werden.<ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Vietas_Produktdarstellung_der_Kreiszahl_Pi Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi]</ref>
<math>A=r^2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=4r^2\sqrt{2-\sqrt{2}}.</math>
== Achtzehneck ==
Die Grundfläche der [[Giga-Großjurte]] entspricht einem [[Achtzehneck]]
==== Zentriwinkel ====
<math> \alpha = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ </math>
==== Innenwinkel ====
Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 160°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2880°.
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 160^\circ </math>
==== Fläche ====
<math> A = \frac{18}{4} \cdot a^2 \cdot \frac{\cos 10^\circ}{\sin 10^\circ}</math>
<math> A = \frac{18}{2} \cdot r_u^2 \cdot \sin 20^\circ </math>


== Dreieck ==
== Dreieck ==
Bei den Formeln für das [[Dreieck]] entspricht <math>a</math> nicht der Kantenlänge eine Plane (außer es geht um die [[Dreieckzeltbahn]])!
=== gleichschenkliges Dreieck ===
[[Datei:bundhoeheformel.jpg|thumb|Eine Formel für die Bundhöhe]]
Mit diesen Formeln kann z.B. die [[Wie hoch sitzt der Bund?|Bundhöhe]] <math> h_b </math>für die Mittelstangen einer Jurte bestimmt werden.
<math> h_b = s+d+x+a </math> mit <math> s </math> = Seitenhöhe der Jurte, <math> d </math> = Dacherhöhung, <math> x </math> = Abstand Dach zu Abdeckplane und <math> a </math> = Höhe Abdeckplane
Wenn wir jetzt noch einen Abstand der beiden Mittelstangen für die Feuerstelle <math> f </math> festlegen, dann können wir mit der Formel
<math> l_b = \sqrt{h_b^2 + \frac{f^2}{4}} </math> die Länge der Mittelstangen, bzw. wo dort der Bund liegen soll, bestimmen.
==== Seitenlänge ====
<math> a = b </math>
<math> c^2 = 2a^2(1-\cos(\gamma)) </math>
<math> c = 2a\cdot \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) </math>
==== Höhe ====
<math> h_c = \sqrt{a^2 - \frac{1}{4}c^2} </math>
==== Umfang ====
<math> U \, = \, 2a + c </math>
==== Winkel ====
<math>\alpha = \beta, \,\gamma = 180^\circ -2 \alpha </math><br /><math>\gamma = \arccos \left( 1- \frac{c^2}{2a^2}\right)</math>
<math> \gamma = 2\arcsin\left(\frac{c}{2a}\right) </math>
==== Flächeninhalt ====
<math>A \, = \, \frac{c}{2}\sqrt{a^2-\frac{c^2}{4}} </math>
<math> A \, = \, \frac{1}{2}\,c\cdot h_c</math>
=== gleichseitiges Dreieck ===
==== Seitenlänge ====
<math> a = b = c \,</math>
==== Winkel ====
<math> \alpha = \beta = \gamma = 60^\circ </math>
==== Höhe ====
<math> h=\frac{\sqrt{3}}{2}a </math>
==== Flächeninhalt ====
<math> A \, = \, \frac{a^2\sqrt{3}}{4} </math>
==== Umfang ====
<math> u \, = \, 3 \cdot a </math>
==== Umkreisradius ====
<math> r_U \, = \, \frac{\sqrt{3}}{3}a </math>
==== Inkreisradius ====
<math> r_I \, = \, \frac{\sqrt{3}}{6}a = \frac 1 2 \cdot r_U </math>
== Pyramide ==
=== regelmäßige Pyramide ===
* Kohte = regelmäßige achtseitige Pyramide
* Jurtendach = regelmäßige zwölfseitige Pyramide
=== regelmäßige dreiseitige Pyramide ===
Ein Anwendungsfall für eine regelmäßige dreiseitige Pyramide ist das Dreibein in oder außerhalb einer Jurte.
== Formeln für einen Kegel ==
Ein Kegel beschreibt am besten die Hüllfläche eines [[Dreibein]]. Damit lassen sich z.B. die benötigten Stangenlängen und der Platzbedarf für ein [[Außendreibein]] berechnen.
=== gerader Kreiskegel ===
==== Radius ====
<math>r = \sqrt{s^{2}-h^{2}}</math>
==== Höhe ====
<math>h = \sqrt{s^{2}-r^{2}}</math>
==== Mantellinie ====
<math>s = \sqrt{h^{2}+r^{2}}</math>
==== Winkel ====
eines geraden Kreiskegels ist der halbe Öffnungswinkel, auch ''halber Kegelwinkel'' genannt
<math>\sin\varphi = \frac{\text{Gegenkathete von }\varphi}{\text{Hypotenuse}} = \frac{r}{s}</math>
<math>\tan\varphi = \frac{\text{Gegenkathete von }\varphi}{\text{Ankathete von }\varphi} = \frac{r}{h}</math>
<math>\varphi = \arcsin\frac{r}{s} = \arctan\frac{r}{h}</math>
==== Durchmesser der Grundfläche ====
<math>d = 2 \cdot r = 2 \cdot h \cdot \tan\varphi</math>
==== Grundfläche ====
<math>A_G = r^2\cdot \pi </math>
==== Flächeninhalt der Mantelfläche ====
<math>A_M = r\cdot s\cdot \pi</math>
==== Oberfläche ====
<math>A_O = A_G + A_M = r\cdot\pi\cdot (r + s)</math>
==== Volumen ====
<math>V = \frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h</math>
=== Kegelstumpf ===
[[Datei:01-Kegelstumpf-Definition-Höhe.svg|miniatur|hochkant=0.8|Kegelstumpf,<br />
Definition der Höhe]]
Mit <math>r</math> werde der [[Radius]] der Deckfläche, mit <math>R</math> der Radius der Grundfläche bezeichnet. <math>\varphi</math> sei der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse.
==== Volumen ====
<math>V = \frac{h \cdot \pi}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)</math>
==== Länge einer Mantellinie ====
<math>m = \sqrt{(R-r)^2 + h^2}</math>
==== Mantelfläche ====
<math>M = (R+r) \cdot \pi \cdot m</math>
==== Deckfläche ====
<math>D = \pi \cdot r^2</math>
==== Grundfläche ====
<math>G = \pi \cdot R^2</math>
==== Oberfläche ====
<math>O = \pi \cdot \left[ r^2 + R^2 + m \cdot (r + R) \right]</math>
==== Höhe des Kegelstumpfs ====
<math>h=\frac{R-r}{\tan\varphi}</math>
== Anmerkungen ==
=== Innenwinkel ===
Der Innenwinkel <math> \delta </math> entspricht zum Beispiel dem Maß der Winkel für das [[Jurtengerüst]].
=== Fläche ===
Die Flächenberechnung ist z.B. dort hilfreich, wo Jurten kombiniert werden, aber dennoch die Grenze zu [[Rechtliches zu Jurtenburgen|Fliegenden Bauten]] nicht überschritten werden soll.


== Einzelnachweise ==
== Einzelnachweise ==


<references />
<references />

Aktuelle Version vom 27. November 2018, 09:31 Uhr

Wer gerne mit Kohte und Jurte konstruiert und sich dazu gerne Pläne macht, der kommt um ein gewisses Maß an Mathematik nicht herum. Idealisiert sind Kohte und Jurte regelmäßige Vielecke. Das modulare System lässt zu, unterschiedliche Planen fast beliebig zu kombinieren. Daraus ergeben sich vielfältige geometrische Formen. Zu deren Berechnung folgt unten die nötige Formelsammlung. Für die Bedeutung der Abkürzungen und Werte siehe: Wichtige Maße.

entspricht der Länge einer Viereckzeltbahn und somit der Seitenlänge von Achteck (Kohte), Zwölfeck (Jurte), Sechzehneck (Großjurte), usw.

Den theoretischen Wert von nehmen wir wie folgt an:

  • Tortuga / Stromeyer
  • Schlaufenjurte
  • Rainbow

Sechseck

Die Grundfläche der Rainbow-Kohte entspricht einem regelmässigen Sechseck

Umkreisradius

Inkreisradius

Flächeninhalt

Diagonale über 2 (bzw. 4) Seiten

Diagonale über 3 Seiten (Durchmesser)

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle D=2R=2a}

Innenwinkel

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \delta =180^{\circ }-\alpha =120^{\circ }}

Achteck

Die Grundfläche der Kohte entspricht einem gleichseitigem Achteck.

Inkreisradius

Umkreisradius

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle R=a\ {\frac {1}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle a=R\ {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}

Große Diagonale (Durchmesser)

Mittlere Diagonale

Kleine Diagonale

Zentriwinkel

Innenwinkel

Flächeninhalt

Zwölfeck

Die Grundfläche der Jurte entspricht einem regelmässigen Zwölfeck. Eine zwölfeckige Jurte mit einem Durchmesser von 6 m hat eine Grundfläche von 27 m²

Zentriwinkel

Innenwinkel

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \delta =180^{\circ }-\alpha =150^{\circ }}

Flächeninhalt

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 11{,}19615\,a^{2}.\end{aligned}}}

Die Fläche kann auch mit als dem Radius des Umkreises[1] berechnet werden

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}.}

Mit r als Radius des Inkreises, ergibt sich der Flächeninhalt des regelmäßigen Zwölfecks zu

Sechzehneck

Die Grundfläche der Großjurte entspricht einem Sechzehneck

Zentriwinkel

Innenwinkel

Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 157,5°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2520°.

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \delta =180^{\circ }-\alpha =157,5^{\circ }}

Flächeninhalt

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A=4a^{2}\cot {\frac {\pi }{16}}=4a^{2}({\sqrt {2}}+1)\left({\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}+1\right)}

Da die Anzahl der Seiten eines Sechzehnecks eine Zweierpotenz ist, kann die Fläche auch über den Umkreis mit dem Radius Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle r} durch eine abgeleitete Formel aus Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi berechnet werden.[2]

Achtzehneck

Die Grundfläche der Giga-Großjurte entspricht einem Achtzehneck

Zentriwinkel

Innenwinkel

Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 160°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2880°.

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \delta =180^{\circ }-\alpha =160^{\circ }}

Fläche

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A={\frac {18}{4}}\cdot a^{2}\cdot {\frac {\cos 10^{\circ }}{\sin 10^{\circ }}}}

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A={\frac {18}{2}}\cdot r_{u}^{2}\cdot \sin 20^{\circ }}

Dreieck

Bei den Formeln für das Dreieck entspricht nicht der Kantenlänge eine Plane (außer es geht um die Dreieckzeltbahn)!

gleichschenkliges Dreieck

Eine Formel für die Bundhöhe

Mit diesen Formeln kann z.B. die Bundhöhe für die Mittelstangen einer Jurte bestimmt werden.

mit = Seitenhöhe der Jurte, = Dacherhöhung, = Abstand Dach zu Abdeckplane und = Höhe Abdeckplane

Wenn wir jetzt noch einen Abstand der beiden Mittelstangen für die Feuerstelle festlegen, dann können wir mit der Formel

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle l_{b}={\sqrt {h_{b}^{2}+{\frac {f^{2}}{4}}}}} die Länge der Mittelstangen, bzw. wo dort der Bund liegen soll, bestimmen.

Seitenlänge

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle a=b}

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle c^{2}=2a^{2}(1-\cos(\gamma ))}

Höhe

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle h_{c}={\sqrt {a^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2}}}}

Umfang

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle U\,=\,2a+c}

Winkel

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \alpha =\beta ,\,\gamma =180^{\circ }-2\alpha }

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \gamma =2\arcsin \left({\frac {c}{2a}}\right)}

Flächeninhalt

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A\,=\,{\frac {c}{2}}{\sqrt {a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}}

gleichseitiges Dreieck

Seitenlänge

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle a=b=c\,}

Winkel

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =60^{\circ }}

Höhe

Flächeninhalt

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A\,=\,{\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}

Umfang

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle u\,=\,3\cdot a}

Umkreisradius

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle r_{U}\,=\,{\frac {\sqrt {3}}{3}}a}

Inkreisradius

Pyramide

regelmäßige Pyramide

  • Kohte = regelmäßige achtseitige Pyramide
  • Jurtendach = regelmäßige zwölfseitige Pyramide

regelmäßige dreiseitige Pyramide

Ein Anwendungsfall für eine regelmäßige dreiseitige Pyramide ist das Dreibein in oder außerhalb einer Jurte.

Formeln für einen Kegel

Ein Kegel beschreibt am besten die Hüllfläche eines Dreibein. Damit lassen sich z.B. die benötigten Stangenlängen und der Platzbedarf für ein Außendreibein berechnen.

gerader Kreiskegel

Radius

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle r={\sqrt {s^{2}-h^{2}}}}

Höhe

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle h={\sqrt {s^{2}-r^{2}}}}

Mantellinie

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle s={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}

Winkel

eines geraden Kreiskegels ist der halbe Öffnungswinkel, auch halber Kegelwinkel genannt

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \tan \varphi ={\frac {{\text{Gegenkathete von }}\varphi }{{\text{Ankathete von }}\varphi }}={\frac {r}{h}}}

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \varphi =\arcsin {\frac {r}{s}}=\arctan {\frac {r}{h}}}

Durchmesser der Grundfläche

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle d=2\cdot r=2\cdot h\cdot \tan \varphi }

Grundfläche

Flächeninhalt der Mantelfläche

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A_{M}=r\cdot s\cdot \pi }

Oberfläche

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A_{O}=A_{G}+A_{M}=r\cdot \pi \cdot (r+s)}

Volumen

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h={\frac {1}{3}}\cdot A_{G}\cdot h}

Kegelstumpf

Kegelstumpf,
Definition der Höhe

Mit werde der Radius der Deckfläche, mit der Radius der Grundfläche bezeichnet. sei der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse.

Volumen

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle V={\frac {h\cdot \pi }{3}}\cdot (R^{2}+R\cdot r+r^{2})}

Länge einer Mantellinie

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle m={\sqrt {(R-r)^{2}+h^{2}}}}

Mantelfläche

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle M=(R+r)\cdot \pi \cdot m}

Deckfläche

Grundfläche

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle G=\pi \cdot R^{2}}

Oberfläche

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle O=\pi \cdot \left[r^{2}+R^{2}+m\cdot (r+R)\right]}

Höhe des Kegelstumpfs

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://en.wikipedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle h={\frac {R-r}{\tan \varphi }}}

Anmerkungen

Innenwinkel

Der Innenwinkel entspricht zum Beispiel dem Maß der Winkel für das Jurtengerüst.

Fläche

Die Flächenberechnung ist z.B. dort hilfreich, wo Jurten kombiniert werden, aber dennoch die Grenze zu Fliegenden Bauten nicht überschritten werden soll.

Einzelnachweise

  1. ↑ Siehe József Kürscháks geometrischen Beweis the Wolfram Demonstration Project
  2. ↑ Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi
Abgerufen von „https://jurtenland.eu/wiki/index.php?title=Formelsammlung&oldid=15262“