Formelsammlung

Wer gerne mit Kohte und Jurte konstruiert und sich dazu gerne Pläne macht, der kommt um ein gewisses Maß an Mathematik nicht herum. Idealisiert sind Kohte und Jurte regelmäßige Vielecke. Das modulare System lässt zu, unterschiedliche Planen fast beliebig zu kombinieren. Daraus ergeben sich vielfältige geometrische Formen. Zu deren Berechnung folgt unten die nötige Formelsammlung. Für die Bedeutung der Abkürzungen und Werte siehe: Wichtige Maße.

$a$ entspricht der Länge einer Viereckzeltbahn und somit der Seitenlänge von Achteck (Kohte), Zwölfeck (Jurte), Sechzehneck (Großjurte), usw.

Den theoretischen Wert von $a$ nehmen wir wie folgt an:

• Tortuga / Stromeyer $a=157cm$
• Schlaufenjurte $a=157cm$
• Rainbow $a=?cm$

Sechseck

Die Grundfläche der Rainbow-Kohte entspricht einem regelmässigen Sechseck

Umkreisradius

$R=a$

Inkreisradius

$r=a\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}$

Flächeninhalt

$A=a^{2}\,{\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}$

Diagonale über 2 (bzw. 4) Seiten

$d_{2}=2r=a\,{\sqrt {3}}$

Diagonale über 3 Seiten (Durchmesser)

$D=2R=2a$

Innenwinkel

$\delta =180^{\circ }-\alpha =120^{\circ }$

Achteck

Die Grundfläche der Kohte entspricht einem gleichseitigem Achteck.

Inkreisradius

$r=a\ {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {2}})$

$a=2r\ ({\sqrt {2}}-1)$

Umkreisradius

$R=a\ {\frac {1}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}$

$R=a\ {\sqrt {1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}$

$a=R\ {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$

Große Diagonale (Durchmesser)

$d_{1}=a\ {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\ =\ 2R$

Mittlere Diagonale

$d_{2}=a\ (1+{\sqrt {2}})\ =\ 2r$

Kleine Diagonale

$d_{3}=a\ {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\ =\ R\,{\sqrt {2}}$

Zentriwinkel

$\alpha ={\frac {360^{\circ }}{8}}=45^{\circ }$

Innenwinkel

$\delta =180^{\circ }-\alpha =135^{\circ }$

$\cos \delta ={\frac {-1}{\sqrt {2}}}$

Flächeninhalt

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$A=r_{u}^{2}\ 2{\sqrt {2}}$

Zwölfeck

Die Grundfläche der Jurte entspricht einem regelmässigen Zwölfeck

Zentriwinkel

$\alpha ={\frac {360^{\circ }}{12}}=30^{\circ }$

Innenwinkel

$\delta =180^{\circ }-\alpha =160^{\circ }$

Flächeninhalt

${\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\approx 11{,}19615\,a^{2}.\end{aligned}}$

Die Fläche kann auch mit $R$ als dem Radius des Umkreises berechnet werden

$A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}.$

Mit r als Radius des Inkreises, ergibt sich der Flächeninhalt des regelmäßigen Zwölfecks zu

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Sechzehneck

Die Grundfläche der Großjurte entspricht einem Sechzehneck

Zentriwinkel

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Innenwinkel

Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 157,5°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2520°.

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Flächeninhalt

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Da die Anzahl der Seiten eines Sechzehnecks eine Zweierpotenz ist, kann die Fläche auch über den Umkreis mit dem Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} durch eine abgeleitete Formel aus Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi berechnet werden.

$A=r^{2}\cdot {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}=4r^{2}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}.$

Achtzehneck

Die Grundfläche der Giga-Großjurte entspricht einem Achtzehneck

Zentriwinkel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ }

Innenwinkel

Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 157,5°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2520°.

$\delta =180^{\circ }-\alpha =157,5^{\circ }$

Flächeninhalt

$A=4a^{2}\cot {\frac {\pi }{16}}=4a^{2}({\sqrt {2}}+1)\left({\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}+1\right)$

Da die Anzahl der Seiten eines Sechzehnecks eine Zweierpotenz ist, kann die Fläche auch über den Umkreis mit dem Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} durch eine abgeleitete Formel aus Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi berechnet werden.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=r^2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=4r^2\sqrt{2-\sqrt{2}}.}

Dreieck

Bei den Formeln für das Dreieck entspricht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} nicht der Kantenlänge eine Plane (außer es geht um die Dreieckzeltbahn)!

gleichschenkliges Dreieck

Eine Formel für die Bundhöhe

Mit diesen Formeln kann z.B. die Bundhöhe $h_{b}$für die Mittelstangen einer Jurte bestimmt werden.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_b = s+d+x+a } mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s } = Seitenhöhe der Jurte, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d } = Dacherhöhung, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x } = Abstand Dach zu Abdeckplane und $a$ = Höhe Abdeckplane

Wenn wir jetzt noch einen Abstand der beiden Mittelstangen für die Feuerstelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f } festlegen, dann können wir mit der Formel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_b = \sqrt{h_b^2 + \frac{f^2}{4}} } die Länge der Mittelstangen, bzw. wo dort der Bund liegen soll, bestimmen.

Seitenlänge

$a=b$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c^2 = 2a^2(1-\cos(\gamma)) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c = 2a\cdot \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) }

Höhe

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Umfang

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Winkel

$\alpha =\beta ,\,\gamma =180^{\circ }-2\alpha$
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Flächeninhalt

$A\,=\,{\frac {c}{2}}{\sqrt {a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}$

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gleichseitiges Dreieck

Seitenlänge

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Winkel

$\alpha =\beta =\gamma =60^{\circ }$

Höhe

$h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$

Flächeninhalt

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Umfang

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u \, = \, 3 \cdot a }

Umkreisradius

$r_{U}\,=\,{\frac {\sqrt {3}}{3}}a$

Inkreisradius

$r_{I}\,=\,{\frac {\sqrt {3}}{6}}a={\frac {1}{2}}\cdot r_{U}$

Pyramide

regelmäßige Pyramide

• Kohte = regelmäßige achtseitige Pyramide
• Jurtendach = regelmäßige zwölfseitige Pyramide

regelmäßige dreiseitige Pyramide

Ein Anwendungsfall für eine regelmäßige dreiseitige Pyramide ist das Dreibein in oder außerhalb einer Jurte.

Formeln für einen Kegel

Ein Kegel beschreibt am besten die Hüllfläche eines Dreibein. Damit lassen sich z.B. die benötigten Stangenlängen und der Platzbedarf für ein Außendreibein berechnen.

gerader Kreiskegel

Radius

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r = \sqrt{s^{2}-h^{2}}}

Höhe

$h={\sqrt {s^{2}-r^{2}}}$

Mantellinie

$s={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}$

Winkel

eines geraden Kreiskegels ist der halbe Öffnungswinkel, auch halber Kegelwinkel genannt

$\sin \varphi ={\frac {{\text{Gegenkathete von }}\varphi }{\text{Hypotenuse}}}={\frac {r}{s}}$

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$\varphi =\arcsin {\frac {r}{s}}=\arctan {\frac {r}{h}}$

Durchmesser der Grundfläche

$d=2\cdot r=2\cdot h\cdot \tan \varphi$

Grundfläche

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Flächeninhalt der Mantelfläche

$A_{M}=r\cdot s\cdot \pi$

Oberfläche

$A_{O}=A_{G}+A_{M}=r\cdot \pi \cdot (r+s)$

Volumen

$V={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h={\frac {1}{3}}\cdot A_{G}\cdot h$

Kegelstumpf

Kegelstumpf,
Definition der Höhe

Mit $r$ werde der Radius der Deckfläche, mit $R$ der Radius der Grundfläche bezeichnet. $\varphi$ sei der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse.

Volumen

$V={\frac {h\cdot \pi }{3}}\cdot (R^{2}+R\cdot r+r^{2})$

Länge einer Mantellinie

$m={\sqrt {(R-r)^{2}+h^{2}}}$

Mantelfläche

$M=(R+r)\cdot \pi \cdot m$

Deckfläche

$D=\pi \cdot r^{2}$

Grundfläche

$G=\pi \cdot R^{2}$

Oberfläche

$O=\pi \cdot \left[r^{2}+R^{2}+m\cdot (r+R)\right]$

Höhe des Kegelstumpfs

$h={\frac {R-r}{\tan \varphi }}$

Anmerkungen

Innenwinkel

Der Innenwinkel $\delta$ entspricht zum Beispiel dem Maß der Winkel für das Jurtengerüst.

Fläche

Die Flächenberechnung ist z.B. dort hilfreich, wo Jurten kombiniert werden, aber dennoch die Grenze zu Fliegenden Bauten nicht überschritten werden soll.