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Formelsammlung: Unterschied zwischen den Versionen
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== Zwölfeck == | == Zwölfeck == | ||
Die Grundfläche der Jurte entspricht einem regelmässigen [[Zwölfeck]] | Die Grundfläche der Jurte entspricht einem regelmässigen [[Zwölfeck]]. Eine zwölfeckige Jurte mit einem Durchmesser von 6 m hat eine Grundfläche von 27 m² | ||
==== Zentriwinkel ==== | ==== Zentriwinkel ==== | ||
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== Sechzehneck == | == Sechzehneck == | ||
Die Grundfläche der [[Großjurte]] entspricht einem [[Sechzehneck]] | |||
==== Zentriwinkel ==== | ==== Zentriwinkel ==== | ||
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<math>A=r^2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=4r^2\sqrt{2-\sqrt{2}}.</math> | <math>A=r^2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=4r^2\sqrt{2-\sqrt{2}}.</math> | ||
== Achtzehneck == | |||
Die Grundfläche der [[Giga-Großjurte]] entspricht einem [[Achtzehneck]] | |||
==== Zentriwinkel ==== | |||
<math> \alpha = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ </math> | |||
==== Innenwinkel ==== | |||
Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 160°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2880°. | |||
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 160^\circ </math> | |||
==== Fläche ==== | |||
<math> A = \frac{18}{4} \cdot a^2 \cdot \frac{\cos 10^\circ}{\sin 10^\circ}</math> | |||
<math> A = \frac{18}{2} \cdot r_u^2 \cdot \sin 20^\circ </math> | |||
== Dreieck == | == Dreieck == | ||
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=== regelmäßige dreiseitige Pyramide === | === regelmäßige dreiseitige Pyramide === | ||
Ein Anwendungsfall für eine regelmäßige dreiseitige Pyramide ist das Dreibein in oder außerhalb einer Jurte. | Ein Anwendungsfall für eine regelmäßige dreiseitige Pyramide ist das Dreibein in oder außerhalb einer Jurte. | ||
== Formeln für einen Kegel == | |||
Ein Kegel beschreibt am besten die Hüllfläche eines [[Dreibein]]. Damit lassen sich z.B. die benötigten Stangenlängen und der Platzbedarf für ein [[Außendreibein]] berechnen. | |||
=== gerader Kreiskegel === | |||
==== Radius ==== | |||
<math>r = \sqrt{s^{2}-h^{2}}</math> | |||
==== Höhe ==== | |||
<math>h = \sqrt{s^{2}-r^{2}}</math> | |||
==== Mantellinie ==== | |||
<math>s = \sqrt{h^{2}+r^{2}}</math> | |||
==== Winkel ==== | |||
eines geraden Kreiskegels ist der halbe Öffnungswinkel, auch ''halber Kegelwinkel'' genannt | |||
<math>\sin\varphi = \frac{\text{Gegenkathete von }\varphi}{\text{Hypotenuse}} = \frac{r}{s}</math> | |||
<math>\tan\varphi = \frac{\text{Gegenkathete von }\varphi}{\text{Ankathete von }\varphi} = \frac{r}{h}</math> | |||
<math>\varphi = \arcsin\frac{r}{s} = \arctan\frac{r}{h}</math> | |||
==== Durchmesser der Grundfläche ==== | |||
<math>d = 2 \cdot r = 2 \cdot h \cdot \tan\varphi</math> | |||
==== Grundfläche ==== | |||
<math>A_G = r^2\cdot \pi </math> | |||
==== Flächeninhalt der Mantelfläche ==== | |||
<math>A_M = r\cdot s\cdot \pi</math> | |||
==== Oberfläche ==== | |||
<math>A_O = A_G + A_M = r\cdot\pi\cdot (r + s)</math> | |||
==== Volumen ==== | |||
<math>V = \frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h</math> | |||
=== Kegelstumpf === | |||
[[Datei:01-Kegelstumpf-Definition-Höhe.svg|miniatur|hochkant=0.8|Kegelstumpf,<br /> | |||
Definition der Höhe]] | |||
Mit <math>r</math> werde der [[Radius]] der Deckfläche, mit <math>R</math> der Radius der Grundfläche bezeichnet. <math>\varphi</math> sei der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse. | |||
==== Volumen ==== | |||
<math>V = \frac{h \cdot \pi}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)</math> | |||
==== Länge einer Mantellinie ==== | |||
<math>m = \sqrt{(R-r)^2 + h^2}</math> | |||
==== Mantelfläche ==== | |||
<math>M = (R+r) \cdot \pi \cdot m</math> | |||
==== Deckfläche ==== | |||
<math>D = \pi \cdot r^2</math> | |||
==== Grundfläche ==== | |||
<math>G = \pi \cdot R^2</math> | |||
==== Oberfläche ==== | |||
<math>O = \pi \cdot \left[ r^2 + R^2 + m \cdot (r + R) \right]</math> | |||
==== Höhe des Kegelstumpfs ==== | |||
<math>h=\frac{R-r}{\tan\varphi}</math> | |||
== Anmerkungen == | == Anmerkungen == | ||