Außendreibein

Jurte mit Außendreibein

Um eine Jurte im Inneren völlig frei von Stangen zu halten, ist ein Außendreibein eine praktikable Lösung, sofern längeres Stangenholz zu Verfügung steht.

Welche Stangenlänge benötigt es hierfür?

Annahme: Aufstellwinkel der Stangen $\varphi =45^{\circ }$

In unserer Vorstellung zerlegen wir die benötigte Stangenlänge in einen Teil über der Traufkante einer Jurte und in den Teil unter der Traufkante der Jurte. So betrachten wir einmal einen gedachten Kegel und einmal einen Kegelstumpf.

In den Formeln heißen diese Strecken für die Stangenlängen Mantellinie. Weitere Formeln findest du in unserer Formelsammlung.

$s_{o}$ entspricht der oberen Länge

$s_{u}$ entspricht der unteren Länge

$R$ entspricht dem Durchmesser der Jurte

Für die Höhe des oberen Kegels lautet die Formel $h_{o}={\sqrt {s_{o}^{2}-R^{2}}}$. Stellen wir diese Formel um nach $s_{o}$, so erhalten wir $s_{o}={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}$.

Nehmen wir nun einen optimalen Winkel mit $\varphi =45^{\circ }$ an, so ist $h_{o}=R$. Aus unserer Formel wird $s_{o}={\sqrt {2}}R$

Nun brauchen wir noch den unteren Teil.

Für $s_{u}$ gilt $s_{u}={\sqrt {(R_{u}-R)^{2}+h_{u}^{2}}}$. Weiter gilt die Annahme $\varphi =45^{\circ }$. Daraus folgt: $R_{u}=R+h_{u}$ und $s_{u}={\sqrt {2}}h_{u}^{2}$

Bei einer Jurte mit 6 Meter Durchmesser und 160 cm Seitenhöhe ist die benötigte Länge $s=s_{o}+s_{u}={\sqrt {2}}R+{\sqrt {2}}h_{u}^{2}={\sqrt {2}}300cm+{\sqrt {2}}160cm=425+226cm=651cm$

Formeln für einen Kegel

gerader Kreiskegel

Radius

$r={\sqrt {s^{2}-h^{2}}}$

Höhe

$h={\sqrt {s^{2}-r^{2}}}$

Mantellinie

$s={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}$

Winkel

eines geraden Kreiskegels ist der halbe Öffnungswinkel, auch halber Kegelwinkel genannt

Anwendung der trigonometrischen Funktionen

$\sin \varphi ={\frac {{\text{Gegenkathete von }}\varphi }{\text{Hypotenuse}}}={\frac {r}{s}}$

$\tan \varphi ={\frac {{\text{Gegenkathete von }}\varphi }{{\text{Ankathete von }}\varphi }}={\frac {r}{h}}$

$\varphi =\arcsin {\frac {r}{s}}=\arctan {\frac {r}{h}}$

Durchmesser der Grundfläche

$d=2\cdot r=2\cdot h\cdot \tan \varphi$

Grundfläche

$A_{G}=r^{2}\cdot \pi$

Flächeninhalt der Mantelfläche

$A_{M}=r\cdot s\cdot \pi$

Oberfläche

$A_{O}=A_{G}+A_{M}=r\cdot \pi \cdot (r+s)$

Volumen

$V={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h={\frac {1}{3}}\cdot A_{G}\cdot h$

Kegelstumpf

Kegelstumpf,
Definition der Höhe

Mit $r$ werde der Radius der Deckfläche, mit $R$ der Radius der Grundfläche bezeichnet. $\varphi$ sei der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse.

Volumen

$V={\frac {h\cdot \pi }{3}}\cdot (R^{2}+R\cdot r+r^{2})$

Länge einer Mantellinie

$m={\sqrt {(R-r)^{2}+h^{2}}}$

Mantelfläche

$M=(R+r)\cdot \pi \cdot m$

Deckfläche

$D=\pi \cdot r^{2}$

Grundfläche

$G=\pi \cdot R^{2}$

Oberfläche

$O=\pi \cdot \left[r^{2}+R^{2}+m\cdot (r+R)\right]$

Höhe des Kegelstumpfs

$h={\frac {R-r}{\tan \varphi }}$