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== Sechseck == | == Sechseck == | ||
Die [[Rainbow]]-Kohte entspricht einem regelmässigen [[Sechseck]] | Die Grundfläche der [[Rainbow]]-Kohte entspricht einem regelmässigen [[Sechseck]] | ||
=== Umkreisradius === | ==== Umkreisradius ==== | ||
<math> R = a </math> | <math> R = a </math> | ||
=== Inkreisradius === | ==== Inkreisradius ==== | ||
<math> r = a \, \frac{\sqrt{3}}{2} </math> | <math> r = a \, \frac{\sqrt{3}}{2} </math> | ||
=== Flächeninhalt === | ==== Flächeninhalt ==== | ||
<math> A = a^2 \, \frac{3}{2} \sqrt 3 </math> | <math> A = a^2 \, \frac{3}{2} \sqrt 3 </math> | ||
=== Diagonale über 2 (bzw. 4) Seiten === | ==== Diagonale über 2 (bzw. 4) Seiten ==== | ||
<math> d_2 = 2 r = a \, \sqrt{3} </math> | <math> d_2 = 2 r = a \, \sqrt{3} </math> | ||
=== Diagonale über 3 Seiten (Durchmesser) === | ==== Diagonale über 3 Seiten (Durchmesser) ==== | ||
<math> D = 2 R = 2 a </math> | <math> D = 2 R = 2 a </math> | ||
=== Innenwinkel === | ==== Innenwinkel ==== | ||
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 120^\circ </math> | <math> \delta = 180^\circ - \alpha = 120^\circ </math> | ||
== Achteck == | == Achteck == | ||
Die Kohte entspricht einem gleichseitigem [[Achteck]]. | Die Grundfläche der Kohte entspricht einem gleichseitigem [[Achteck]]. | ||
=== Inkreisradius === | ==== Inkreisradius ==== | ||
<math> r = a \ \frac{1}{2} (1+ \sqrt{2}) </math> | <math> r = a \ \frac{1}{2} (1+ \sqrt{2}) </math> | ||
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<math> a = 2 r \ (\sqrt{2}-1) </math> | <math> a = 2 r \ (\sqrt{2}-1) </math> | ||
=== Umkreisradius === | ==== Umkreisradius ==== | ||
<math> R = a \ \frac{1}{2} \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} </math> | <math> R = a \ \frac{1}{2} \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} </math> | ||
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<math> a = R \ \sqrt{2 - \sqrt{2}} </math> | <math> a = R \ \sqrt{2 - \sqrt{2}} </math> | ||
=== Große Diagonale (Durchmesser) === | ==== Große Diagonale (Durchmesser) ==== | ||
<math> d_1 = a \ \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \ = \ 2 R </math> | <math> d_1 = a \ \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \ = \ 2 R </math> | ||
=== Mittlere Diagonale === | ==== Mittlere Diagonale ==== | ||
<math> d_2 = a \ (1 + \sqrt{2}) \ = \ 2 r</math> | <math> d_2 = a \ (1 + \sqrt{2}) \ = \ 2 r</math> | ||
=== Kleine Diagonale === | ==== Kleine Diagonale ==== | ||
<math> d_3 = a \ \sqrt{2 + \sqrt{2}} \ = \ R \, \sqrt{2} </math> | <math> d_3 = a \ \sqrt{2 + \sqrt{2}} \ = \ R \, \sqrt{2} </math> | ||
=== Zentriwinkel === | ==== Zentriwinkel ==== | ||
<math> \alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ </math> | <math> \alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ </math> | ||
=== Innenwinkel === | ==== Innenwinkel ==== | ||
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 135^\circ </math> | <math> \delta = 180^\circ - \alpha = 135^\circ </math> | ||
<math> \cos \delta = \frac{-1}{\sqrt{2}} </math> | <math> \cos \delta = \frac{-1}{\sqrt{2}} </math> | ||
=== Flächeninhalt === | ==== Flächeninhalt ==== | ||
<math> A = a^2 \ (2+ 2 \sqrt{2})</math> | <math> A = a^2 \ (2+ 2 \sqrt{2})</math> | ||
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== Zwölfeck == | == Zwölfeck == | ||
Die Jurte entspricht einem regelmässigen [[Zwölfeck]] | Die Grundfläche der Jurte entspricht einem regelmässigen [[Zwölfeck]]. Eine zwölfeckige Jurte mit einem Durchmesser von 6 m hat eine Grundfläche von 27 m² | ||
=== Zentriwinkel === | ==== Zentriwinkel ==== | ||
<math> \alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ </math> | <math> \alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ </math> | ||
=== Innenwinkel === | ==== Innenwinkel ==== | ||
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 150^\circ </math> | <math> \delta = 180^\circ - \alpha = 150^\circ </math> | ||
=== Flächeninhalt === | ==== Flächeninhalt ==== | ||
<math>\begin{align} A & = 3 \cot\left(\frac{\pi}{12} \right) a^2 = | <math>\begin{align} A & = 3 \cot\left(\frac{\pi}{12} \right) a^2 = | ||
3 \left(2+\sqrt{3} \right) a^2 \\ | 3 \left(2+\sqrt{3} \right) a^2 \\ | ||
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== Sechzehneck == | == Sechzehneck == | ||
Die Grundfläche der [[Großjurte]] entspricht einem [[Sechzehneck]] | |||
=== Zentriwinkel === | ==== Zentriwinkel ==== | ||
<math> \alpha = \frac{360^\circ}{16} = 22,5^\circ </math> | <math> \alpha = \frac{360^\circ}{16} = 22,5^\circ </math> | ||
=== Innenwinkel === | ==== Innenwinkel ==== | ||
Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 157,5°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2520°. | Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 157,5°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2520°. | ||
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 157,5^\circ </math> | <math> \delta = 180^\circ - \alpha = 157,5^\circ </math> | ||
=== Flächeninhalt === | ==== Flächeninhalt ==== | ||
<math>A = 4a^2 \cot \frac{\pi}{16} = 4a^2 (\sqrt{2}+1)\left(\sqrt{4-2\sqrt{2}}+1\right)</math> | <math>A = 4a^2 \cot \frac{\pi}{16} = 4a^2 (\sqrt{2}+1)\left(\sqrt{4-2\sqrt{2}}+1\right)</math> | ||
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<math>A=r^2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=4r^2\sqrt{2-\sqrt{2}}.</math> | <math>A=r^2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=4r^2\sqrt{2-\sqrt{2}}.</math> | ||
== Achtzehneck == | |||
Die Grundfläche der [[Giga-Großjurte]] entspricht einem [[Achtzehneck]] | |||
==== Zentriwinkel ==== | |||
<math> \alpha = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ </math> | |||
==== Innenwinkel ==== | |||
Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 160°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2880°. | |||
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 160^\circ </math> | |||
==== Fläche ==== | |||
<math> A = \frac{18}{4} \cdot a^2 \cdot \frac{\cos 10^\circ}{\sin 10^\circ}</math> | |||
<math> A = \frac{18}{2} \cdot r_u^2 \cdot \sin 20^\circ </math> | |||
== Dreieck == | == Dreieck == | ||
Bei den Formeln für das [[Dreieck]] entspricht <math>a</math> nicht der Kantenlänge eine Plane (außer es geht um die [[Dreieckzeltbahn]])! | |||
=== gleichschenkliges Dreieck === | |||
[[Datei:bundhoeheformel.jpg|thumb|Eine Formel für die Bundhöhe]] | |||
Mit diesen Formeln kann z.B. die [[Wie hoch sitzt der Bund?|Bundhöhe]] <math> h_b </math>für die Mittelstangen einer Jurte bestimmt werden. | |||
<math> h_b = s+d+x+a </math> mit <math> s </math> = Seitenhöhe der Jurte, <math> d </math> = Dacherhöhung, <math> x </math> = Abstand Dach zu Abdeckplane und <math> a </math> = Höhe Abdeckplane | |||
Wenn wir jetzt noch einen Abstand der beiden Mittelstangen für die Feuerstelle <math> f </math> festlegen, dann können wir mit der Formel | |||
<math> l_b = \sqrt{h_b^2 + \frac{f^2}{4}} </math> die Länge der Mittelstangen, bzw. wo dort der Bund liegen soll, bestimmen. | |||
==== Seitenlänge ==== | |||
<math> a = b </math> | |||
<math> c^2 = 2a^2(1-\cos(\gamma)) </math> | |||
<math> c = 2a\cdot \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) </math> | |||
==== Höhe ==== | |||
<math> h_c = \sqrt{a^2 - \frac{1}{4}c^2} </math> | |||
==== Umfang ==== | |||
<math> U \, = \, 2a + c </math> | |||
==== Winkel ==== | |||
<math>\alpha = \beta, \,\gamma = 180^\circ -2 \alpha </math><br /><math>\gamma = \arccos \left( 1- \frac{c^2}{2a^2}\right)</math> | |||
<math> \gamma = 2\arcsin\left(\frac{c}{2a}\right) </math> | |||
==== Flächeninhalt ==== | |||
<math>A \, = \, \frac{c}{2}\sqrt{a^2-\frac{c^2}{4}} </math> | |||
<math> A \, = \, \frac{1}{2}\,c\cdot h_c</math> | |||
=== gleichseitiges Dreieck === | |||
==== Seitenlänge ==== | |||
<math> a = b = c \,</math> | |||
==== Winkel ==== | |||
<math> \alpha = \beta = \gamma = 60^\circ </math> | |||
==== Höhe ==== | |||
<math> h=\frac{\sqrt{3}}{2}a </math> | |||
==== Flächeninhalt ==== | |||
<math> A \, = \, \frac{a^2\sqrt{3}}{4} </math> | |||
==== Umfang ==== | |||
<math> u \, = \, 3 \cdot a </math> | |||
==== Umkreisradius ==== | |||
<math> r_U \, = \, \frac{\sqrt{3}}{3}a </math> | |||
==== Inkreisradius ==== | |||
<math> r_I \, = \, \frac{\sqrt{3}}{6}a = \frac 1 2 \cdot r_U </math> | |||
== Pyramide == | |||
=== regelmäßige Pyramide === | |||
* Kohte = regelmäßige achtseitige Pyramide | |||
* Jurtendach = regelmäßige zwölfseitige Pyramide | |||
=== regelmäßige dreiseitige Pyramide === | |||
Ein Anwendungsfall für eine regelmäßige dreiseitige Pyramide ist das Dreibein in oder außerhalb einer Jurte. | |||
== Formeln für einen Kegel == | |||
Ein Kegel beschreibt am besten die Hüllfläche eines [[Dreibein]]. Damit lassen sich z.B. die benötigten Stangenlängen und der Platzbedarf für ein [[Außendreibein]] berechnen. | |||
=== gerader Kreiskegel === | |||
==== Radius ==== | |||
<math>r = \sqrt{s^{2}-h^{2}}</math> | |||
==== Höhe ==== | |||
<math>h = \sqrt{s^{2}-r^{2}}</math> | |||
==== Mantellinie ==== | |||
<math>s = \sqrt{h^{2}+r^{2}}</math> | |||
==== Winkel ==== | |||
eines geraden Kreiskegels ist der halbe Öffnungswinkel, auch ''halber Kegelwinkel'' genannt | |||
<math>\sin\varphi = \frac{\text{Gegenkathete von }\varphi}{\text{Hypotenuse}} = \frac{r}{s}</math> | |||
<math>\tan\varphi = \frac{\text{Gegenkathete von }\varphi}{\text{Ankathete von }\varphi} = \frac{r}{h}</math> | |||
<math>\varphi = \arcsin\frac{r}{s} = \arctan\frac{r}{h}</math> | |||
==== Durchmesser der Grundfläche ==== | |||
<math>d = 2 \cdot r = 2 \cdot h \cdot \tan\varphi</math> | |||
==== Grundfläche ==== | |||
<math>A_G = r^2\cdot \pi </math> | |||
==== Flächeninhalt der Mantelfläche ==== | |||
<math>A_M = r\cdot s\cdot \pi</math> | |||
==== Oberfläche ==== | |||
<math>A_O = A_G + A_M = r\cdot\pi\cdot (r + s)</math> | |||
==== Volumen ==== | |||
<math>V = \frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h</math> | |||
=== Kegelstumpf === | |||
[[Datei:01-Kegelstumpf-Definition-Höhe.svg|miniatur|hochkant=0.8|Kegelstumpf,<br /> | |||
Definition der Höhe]] | |||
Mit <math>r</math> werde der [[Radius]] der Deckfläche, mit <math>R</math> der Radius der Grundfläche bezeichnet. <math>\varphi</math> sei der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse. | |||
==== Volumen ==== | |||
<math>V = \frac{h \cdot \pi}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)</math> | |||
==== Länge einer Mantellinie ==== | |||
<math>m = \sqrt{(R-r)^2 + h^2}</math> | |||
==== Mantelfläche ==== | |||
<math>M = (R+r) \cdot \pi \cdot m</math> | |||
==== Deckfläche ==== | |||
<math>D = \pi \cdot r^2</math> | |||
==== Grundfläche ==== | |||
<math>G = \pi \cdot R^2</math> | |||
==== Oberfläche ==== | |||
<math>O = \pi \cdot \left[ r^2 + R^2 + m \cdot (r + R) \right]</math> | |||
==== Höhe des Kegelstumpfs ==== | |||
<math>h=\frac{R-r}{\tan\varphi}</math> | |||
== Anmerkungen == | == Anmerkungen == | ||
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=== Fläche === | === Fläche === | ||
Die | Die Flächenberechnung ist z.B. dort hilfreich, wo Jurten kombiniert werden, aber dennoch die Grenze zu [[Rechtliches zu Jurtenburgen|Fliegenden Bauten]] nicht überschritten werden soll. | ||
== Einzelnachweise == | == Einzelnachweise == | ||
<references /> | <references /> |