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Version vom 27. November 2018, 09:31 Uhr

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→‎Fläche
 
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Wer gerne mit [[Kohte]] und [[Jurte]] konstruiert und sich dazu gerne [[Pläne]] macht, der kommt um ein gewisses Maß an Mathematik nicht herum. Idealisiert sind Kohte und Jurte regelmäßige Vielecke. Das modulare System lässt zu, unterschiedliche [[Planen]] fast beliebig zu kombinieren. Daraus ergeben sich vielfältige geometrische Formen. Für die Bedeutung der Abkürzungen und Werte siehe: [[Wichtige Maße]].
Wer gerne mit Kohte und Jurte konstruiert und sich dazu gerne [[Pläne]] macht, der kommt um ein gewisses Maß an Mathematik nicht herum. Idealisiert sind Kohte und Jurte regelmäßige Vielecke. Das modulare System lässt zu, unterschiedliche [[Planen]] fast beliebig zu kombinieren. Daraus ergeben sich vielfältige geometrische Formen. Zu deren Berechnung folgt unten die nötige [[Formelsammlung]]. Für die Bedeutung der Abkürzungen und Werte siehe: [[Wichtige Maße]].
 
<math>a</math> entspricht der Länge einer Viereckzeltbahn und somit der Seitenlänge von Achteck ([[Kohte]]), Zwölfeck ([[Jurte]]), Sechzehneck ([[Großjurte]]), usw.
 
Den theoretischen Wert von <math>a</math> nehmen wir wie folgt an:
 
* Tortuga / Stromeyer <math>a = 157 cm</math>
* Schlaufenjurte <math>a = 157 cm</math>
* Rainbow <math>a = ? cm</math>
 
{{toclimit|limit=2}}
 
== Sechseck ==
Die Grundfläche der [[Rainbow]]-Kohte entspricht einem regelmässigen [[Sechseck]]
 
==== Umkreisradius ====
<math> R = a </math>
 
==== Inkreisradius ====
<math> r = a \, \frac{\sqrt{3}}{2} </math>
 
==== Flächeninhalt ====
<math> A = a^2 \, \frac{3}{2} \sqrt 3 </math>
 
==== Diagonale über 2 (bzw. 4) Seiten ====
<math> d_2 = 2 r = a \, \sqrt{3} </math>
 
==== Diagonale über 3 Seiten (Durchmesser) ====
<math> D = 2 R = 2 a </math>
 
==== Innenwinkel ====
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 120^\circ </math>


== Achteck ==
== Achteck ==
Die Kohte entspricht einem gleichseitigem Achteck.
Die Grundfläche der Kohte entspricht einem gleichseitigem [[Achteck]].


=== Inkreisradius ===
==== Inkreisradius ====


<math> r_i = a  \ \frac{1}{2} (1+ \sqrt{2})  </math>
<math> r = a  \ \frac{1}{2} (1+ \sqrt{2})  </math>


<math> a = 2 r_i \ (\sqrt{2}-1) </math>
<math> a = 2 r \ (\sqrt{2}-1) </math>


=== Umkreisradius ===
==== Umkreisradius ====


<math> r_u = a  \ \frac{1}{2} \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} </math>
<math> R = a  \ \frac{1}{2} \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} </math>


<math> r_u = a  \ \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} </math>
<math> R = a  \ \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}} </math>


<math> a = r_u \  \sqrt{2 - \sqrt{2}} </math>
<math> a = R \  \sqrt{2 - \sqrt{2}} </math>


=== Große Diagonale ===
==== Große Diagonale (Durchmesser) ====
<math> d_1 = a  \ \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \ = \ 2 r_u </math>
<math> d_1 = a  \ \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \ = \ 2 R </math>


=== Mittlere Diagonale ===
==== Mittlere Diagonale ====
<math> d_2 = a  \ (1 + \sqrt{2}) \ = \ 2 r_i</math>
<math> d_2 = a  \ (1 + \sqrt{2}) \ = \ 2 r</math>


=== Kleine Diagonale ===
==== Kleine Diagonale ====
<math> d_3 = a  \ \sqrt{2 + \sqrt{2}} \ = \ r_u \, \sqrt{2} </math>
<math> d_3 = a  \ \sqrt{2 + \sqrt{2}} \ = \ R \, \sqrt{2} </math>


=== Zentriwinkel ===
==== Zentriwinkel ====
<math> \alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ </math>
<math> \alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ </math>


=== Innenwinkel ===
==== Innenwinkel ====
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 135^\circ </math>
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 135^\circ </math>


<math> \cos \delta = \frac{-1}{\sqrt{2}} </math>
<math> \cos \delta = \frac{-1}{\sqrt{2}} </math>


=== Flächeninhalt ===
==== Flächeninhalt ====
<math> A = a^2  \ (2+ 2 \sqrt{2})</math>
<math> A = a^2  \ (2+ 2 \sqrt{2})</math>


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== Zwölfeck ==
== Zwölfeck ==
* Jeder [[Innenwinkel]] eines regelmäßigen Zwölfecks hat 150°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 1800°.
Die Grundfläche der Jurte entspricht einem regelmässigen [[Zwölfeck]]. Eine zwölfeckige Jurte mit einem Durchmesser von 6 m hat eine Grundfläche von 27 m²


* Der [[Flächeninhalt]] eines regelmäßigen Zwölfecks mit der Seitenlänge <math>a</math> ist gegeben durch:
==== Zentriwinkel ====
:<math>\begin{align} A & = 3 \cot\left(\frac{\pi}{12} \right) a^2 =
<math> \alpha = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ </math>
 
==== Innenwinkel ====
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 150^\circ </math>
 
==== Flächeninhalt ====
<math>\begin{align} A & = 3 \cot\left(\frac{\pi}{12} \right) a^2 =
                     3 \left(2+\sqrt{3} \right) a^2 \\
                     3 \left(2+\sqrt{3} \right) a^2 \\
                 & \approx 11{,}19615\,a^2.
                 & \approx 11{,}19615\,a^2.
  \end{align}</math>
  \end{align}</math>


*Die Fläche kann auch  mit <math>R</math> als dem Radius des [[Umkreis]]es<ref>Siehe [[József Kürschák|Kürscháks]] geometrischen Beweis [http://demonstrations.wolfram.com/KurschaksDodecagon/ the Wolfram Demonstration Project]</ref> berechnet werden
Die Fläche kann auch  mit <math>R</math> als dem Radius des Umkreises<ref>Siehe József Kürscháks geometrischen Beweis [http://demonstrations.wolfram.com/KurschaksDodecagon/ the Wolfram Demonstration Project]</ref> berechnet werden
:<math>A = 6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) R^2 = 3 R^2.</math>
 
<math>A = 6 \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) R^2 = 3 R^2.</math>
 
Mit ''r'' als Radius des Inkreises, ergibt sich der Flächeninhalt des regelmäßigen Zwölfecks zu


*  Mit ''r'' als [[Radius]] des [[Inkreis]]es, ergibt sich der [[Flächeninhalt]] des regelmäßigen Zwölfecks zu
<math>\begin{align} A & = 12 \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) r^2 =
:<math>\begin{align} A & = 12 \tan\left(\frac{\pi}{12}\right) r^2 =
                     12 \left(2-\sqrt{3} \right) r^2 \\
                     12 \left(2-\sqrt{3} \right) r^2 \\
                 & \approx 3{,}21539\,r^2.
                 & \approx 3{,}21539\,r^2.
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== Sechzehneck ==
== Sechzehneck ==
Die Grundfläche der [[Großjurte]] entspricht einem [[Sechzehneck]]
==== Zentriwinkel ====
<math> \alpha = \frac{360^\circ}{16} = 22,5^\circ </math>
==== Innenwinkel ====
Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 157,5°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2520°.
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 157,5^\circ </math>
==== Flächeninhalt ====
<math>A = 4a^2 \cot \frac{\pi}{16} = 4a^2 (\sqrt{2}+1)\left(\sqrt{4-2\sqrt{2}}+1\right)</math>
Da die Anzahl der Seiten eines Sechzehnecks eine Zweierpotenz ist, kann die Fläche auch über den [[Umkreis]] mit dem [[Radius]] <math>r</math> durch eine abgeleitete Formel aus Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi berechnet werden.<ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Vietas_Produktdarstellung_der_Kreiszahl_Pi Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi]</ref>
<math>A=r^2\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=4r^2\sqrt{2-\sqrt{2}}.</math>
== Achtzehneck ==
Die Grundfläche der [[Giga-Großjurte]] entspricht einem [[Achtzehneck]]
==== Zentriwinkel ====
<math> \alpha = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ </math>
==== Innenwinkel ====
Der Innenwinkel eines regelmäßigen Sechzehneck hat 160°, und die Summe der Innenwinkel beträgt 2880°.
<math> \delta = 180^\circ - \alpha = 160^\circ </math>
==== Fläche ====
<math> A = \frac{18}{4} \cdot a^2 \cdot \frac{\cos 10^\circ}{\sin 10^\circ}</math>
<math> A = \frac{18}{2} \cdot r_u^2 \cdot \sin 20^\circ </math>


== Dreieck ==
== Dreieck ==
Bei den Formeln für das [[Dreieck]] entspricht <math>a</math> nicht der Kantenlänge eine Plane (außer es geht um die [[Dreieckzeltbahn]])!
=== gleichschenkliges Dreieck ===
[[Datei:bundhoeheformel.jpg|thumb|Eine Formel für die Bundhöhe]]
Mit diesen Formeln kann z.B. die [[Wie hoch sitzt der Bund?|Bundhöhe]] <math> h_b </math>für die Mittelstangen einer Jurte bestimmt werden.
<math> h_b = s+d+x+a </math> mit <math> s </math> = Seitenhöhe der Jurte, <math> d </math> = Dacherhöhung, <math> x </math> = Abstand Dach zu Abdeckplane und <math> a </math> = Höhe Abdeckplane
Wenn wir jetzt noch einen Abstand der beiden Mittelstangen für die Feuerstelle <math> f </math> festlegen, dann können wir mit der Formel
<math> l_b = \sqrt{h_b^2 + \frac{f^2}{4}} </math> die Länge der Mittelstangen, bzw. wo dort der Bund liegen soll, bestimmen.
==== Seitenlänge ====
<math> a = b </math>
<math> c^2 = 2a^2(1-\cos(\gamma)) </math>
<math> c = 2a\cdot \sin\left(\frac{\gamma}{2}\right) </math>
==== Höhe ====
<math> h_c = \sqrt{a^2 - \frac{1}{4}c^2} </math>
==== Umfang ====
<math> U \, = \, 2a + c </math>
==== Winkel ====
<math>\alpha = \beta, \,\gamma = 180^\circ -2 \alpha </math><br /><math>\gamma = \arccos \left( 1- \frac{c^2}{2a^2}\right)</math>
<math> \gamma = 2\arcsin\left(\frac{c}{2a}\right) </math>
==== Flächeninhalt ====
<math>A \, = \, \frac{c}{2}\sqrt{a^2-\frac{c^2}{4}} </math>
<math> A \, = \, \frac{1}{2}\,c\cdot h_c</math>
=== gleichseitiges Dreieck ===
==== Seitenlänge ====
<math> a = b = c \,</math>
==== Winkel ====
<math> \alpha = \beta = \gamma = 60^\circ </math>
==== Höhe ====
<math> h=\frac{\sqrt{3}}{2}a </math>
==== Flächeninhalt ====
<math> A \, = \, \frac{a^2\sqrt{3}}{4} </math>
==== Umfang ====
<math> u \, = \, 3 \cdot a </math>
==== Umkreisradius ====
<math> r_U \, = \, \frac{\sqrt{3}}{3}a </math>
==== Inkreisradius ====
<math> r_I \, = \, \frac{\sqrt{3}}{6}a = \frac 1 2 \cdot r_U </math>
== Pyramide ==
=== regelmäßige Pyramide ===
* Kohte = regelmäßige achtseitige Pyramide
* Jurtendach = regelmäßige zwölfseitige Pyramide
=== regelmäßige dreiseitige Pyramide ===
Ein Anwendungsfall für eine regelmäßige dreiseitige Pyramide ist das Dreibein in oder außerhalb einer Jurte.
== Formeln für einen Kegel ==
Ein Kegel beschreibt am besten die Hüllfläche eines [[Dreibein]]. Damit lassen sich z.B. die benötigten Stangenlängen und der Platzbedarf für ein [[Außendreibein]] berechnen.
=== gerader Kreiskegel ===
==== Radius ====
<math>r = \sqrt{s^{2}-h^{2}}</math>
==== Höhe ====
<math>h = \sqrt{s^{2}-r^{2}}</math>
==== Mantellinie ====
<math>s = \sqrt{h^{2}+r^{2}}</math>
==== Winkel ====
eines geraden Kreiskegels ist der halbe Öffnungswinkel, auch ''halber Kegelwinkel'' genannt
<math>\sin\varphi = \frac{\text{Gegenkathete von }\varphi}{\text{Hypotenuse}} = \frac{r}{s}</math>
<math>\tan\varphi = \frac{\text{Gegenkathete von }\varphi}{\text{Ankathete von }\varphi} = \frac{r}{h}</math>
<math>\varphi = \arcsin\frac{r}{s} = \arctan\frac{r}{h}</math>
==== Durchmesser der Grundfläche ====
<math>d = 2 \cdot r = 2 \cdot h \cdot \tan\varphi</math>
==== Grundfläche ====
<math>A_G = r^2\cdot \pi </math>
==== Flächeninhalt der Mantelfläche ====
<math>A_M = r\cdot s\cdot \pi</math>
==== Oberfläche ====
<math>A_O = A_G + A_M = r\cdot\pi\cdot (r + s)</math>
==== Volumen ====
<math>V = \frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^{2}\cdot h = \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h</math>
=== Kegelstumpf ===
[[Datei:01-Kegelstumpf-Definition-Höhe.svg|miniatur|hochkant=0.8|Kegelstumpf,<br />
Definition der Höhe]]
Mit <math>r</math> werde der [[Radius]] der Deckfläche, mit <math>R</math> der Radius der Grundfläche bezeichnet. <math>\varphi</math> sei der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse.
==== Volumen ====
<math>V = \frac{h \cdot \pi}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2)</math>
==== Länge einer Mantellinie ====
<math>m = \sqrt{(R-r)^2 + h^2}</math>
==== Mantelfläche ====
<math>M = (R+r) \cdot \pi \cdot m</math>
==== Deckfläche ====
<math>D = \pi \cdot r^2</math>
==== Grundfläche ====
<math>G = \pi \cdot R^2</math>
==== Oberfläche ====
<math>O = \pi \cdot \left[ r^2 + R^2 + m \cdot (r + R) \right]</math>
==== Höhe des Kegelstumpfs ====
<math>h=\frac{R-r}{\tan\varphi}</math>
== Anmerkungen ==
=== Innenwinkel ===
Der Innenwinkel <math> \delta </math> entspricht zum Beispiel dem Maß der Winkel für das [[Jurtengerüst]].
=== Fläche ===
Die Flächenberechnung ist z.B. dort hilfreich, wo Jurten kombiniert werden, aber dennoch die Grenze zu [[Rechtliches zu Jurtenburgen|Fliegenden Bauten]] nicht überschritten werden soll.
== Einzelnachweise ==
<references />
Ralph
Bürokraten, Administratoren
19.642

Bearbeitungen

Abgerufen von „https://jurtenland.eu/wiki/Spezial:Mobiler_Unterschied/5205...15262“

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